Полученные теоремы прида
менены к решению одной задачи теории гравитации. <...> (2)
В указанной работе доказано утверждение, что существование таких
решений следует из полиномиального асимптотического равновесия [2]
уравнения (2). <...> В настоящей работе найдены более слабые ограничения на правую
часть уравнения (2), чем в [1], при выполнении которых задача (1) будет
иметь решения при любых x0 , A ∈ R n , однако полиномиальная асимптотика
первого порядка уравнения (2) в данном случае не гарантируется. <...> В третьей
части работы приведен пример применения полученных теорем. <...> 1 Асимптотика решений обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим уравнение (2). <...> Математика
Приведем определение абсолютно равномерной ограниченности решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое
понадобится нам в дальнейшем. <...> t0
В силу абсолютно равномерной ограниченности решений уравнения
z ′ = λ 0 (t , z ) оно имеет полиномиальную асимптотику нулевого порядка, т.е.
v(t ) = C + o(1) при t → +∞ . <...> Требование монотонного неубывания функции λ по второй и третьей
переменным (условие (а) теоремы 1) можно несколько ослабить, что демонстрируют теоремы 2 и 3. <...> Поволжский регион
Учитывая условия (a) и (б), а также свойства функции f , имеем следующую оценку:
x '(t ) ≤ x0′ +
T1 <...> Справедливость ра-
t0
венств (3) и (4) показывается таким же образом, как в теореме 1. <...> Иногда для получения более плотных оценок правой части исследуемого уравнения могут понадобиться менее стеснительные ограничения на
66
№ 2, 2008
Физико-математические науки. <...> Так, в теоремах 4–6 норма функции f при
t → +∞ может превышать значение мажорирующей функции λ , но не бо⎛1⎞
лее чем на o ⎜ ⎟ .
⎝t ⎠
Теорема 4. <...> Тогда, аналогично теореме 1, при t ≥ t0 и произвольных x0 , x0′
получим оценки <...> Поволжский регион
Дальнейшая схема доказательства полностью повторяет схему доказательства теоремы 1. <...> То-
гда при любых x0 , A ∈ R n существует единственное решение краевых задач
x(t ) <...> причем K не зависит <...>