А.Г. Фролов
МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ1
Аннотация. <...> Для численного решения задач о поверхностных и вытекающих
собственных волнах слабонаправляющего диэлектрического волновода в полупространстве предлагается метод коллокации. <...> Ключевые слова: диэлектрический волновод, задача на собственные значения,
интегральные уравнения, метод колллокации. <...> Введение
Ряд спектральных задач теории диэлектрических волноводов сводится
к линейным и нелинейным задачам поиска характеристических чисел двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений [1–3]. <...> В настоящей статье предлагается реализация метода коллокации
для поиска поверхностных (линейная задача) и вытекающих (нелинейная задача) собственных волн слабонаправляющего волновода в полупространстве. <...> Метод коллокации для задачи
о поверхностных собственных волнах
Опишем метод коллокации приближенного решения линейной спектральной задачи о поверхностных собственных волнах слабонаправляющего
волновода в полупространстве [3]:
u = λ T ( σ ) u. <...> При каждом фиксированном значении σ > 0 необходимо найти все характеристические числа λ и отвечающие им собственные функции u оператора T (σ) . <...> При построении и теоретическом обосновании сходимости метода коллокации будем опираться на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения линейных спектральных задач для многомерных слабосингулярных интегральных уравнений [4]. <...> Ядро K слабо полярно, поэтому, если ∂Ω – липшицева кривая и решение задачи (1) существует в L2 (Ω) , то собственные функции u принадлежат [7] пространству
вещественных непрерывных функций C (Ω) с нормой
|| u ||C (Ω) = sup | u ( x) | . <...> Будем использовать такие треугольники Ω j ,h с прямолинейными
границами, что Ωi,h Ω j ,h = ∅ , если i ≠ j. <...> Будем обозначать
дискретную сходимость так: uh − → u . <...> Приближенное решение интегрального уравнения (1) будем разыскивать в виде кусочно-постоянной функции
u <...> В интегральном <...>