Математика (190,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Курс лекций УДК 364.01: 510/519 (075.8) ББК 22.1: 60.93 я73 М 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета Северо-Кавказского федерального университета Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор Р. Г. Закинян, канд. пед. наук, доцент Е. В. Потехина (ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет») Мирзоян М. В., Саиег Т. Х. М 63 Математика: курс лекций. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2018. – 153 с. Пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования и включает учебный материал для организации и проведения лекционных занятий. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 39.03.02 Социальная работа (бакалавр). УДК 364.01: 510/519 (075.8) ББК 22.1: 60.93 я73 Авторы: канд. пед. наук, доцент М. В. Мирзоян, канд. физ.-мат. наук, доцент Т. Х. Саиег © ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет», 2018 2

Стр.2

МАТЕМАТИКА СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.1. Матрицы, основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы 1.4. Определение определителя квадратной матрицы . . . . . . 1.5. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2.1. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Основные задачи на прямоугольные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной. Цилиндрическая и сферическая системы координат . . . . . . . 2.3. Скаляры и векторы, основные определения. Линейные действия над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Линейная зависимость системы векторов, базис и ранг системы векторов, координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Скалярное произведение двух векторов, длина вектора, угол между векторами, условие ортогональности . . . . . . . . . 2.6. Векторное произведение векторов, его приложения . . . . 2.7. Смешанное произведение векторов, его приложения . . . 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ 3.1. Системы линейных уравнений. Основные определения . 3.2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений . . . 3.3. Критерий совместности систем линейных уравнений . . . 3.4. Метод Крамера решения систем линейных уравнений . . 3.5. Обратная матрица. Методы её нахождения . . . . . . . . . . . 3 7 8 9 11 13 14 16 19 24 29 33 34 37 40 45 46 50 51 53

Стр.3

Курс лекций 3.6. Матричный метод решения систем линейных уравнений . 3.7. Однородная система линейных уравнений, условие существования ненулевых решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР И ЕГО МАТРИЦА. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 4.1. Линейные пространства. Понятие n-мерного вектора . . 4.2. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора линейного пространства . . . . . . . . . . . . 4.3. Определение линейного оператора, примеры . . . . . . . . . 4.4. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их нахождение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 5.1. Определение функции. Числовые последовательности . 5.2. Классификация функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Способы задания функций. Условие существования обратной функции. Понятие сложной функции . . . . . . . . . . . 5.4. Основные элементарные функции, их свойства и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Преобразования прямоугольной системы координат . . . 5.6. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 6.1. Предел числовой последовательности. Число е . . . . . . . . 6.2. Предел функции. Односторонние и бесконечные пределы. Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Замечательные пределы и следствия из них . . . . . . . . . . . 6.4. Бесконечно малые, бесконечно большие и неограниченные функции. Сравнение бесконечно малых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Непрерывные функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . 4 57 59 60 61 62 63 66 69 71 72 74 86 88 94 96 99 101 103

Стр.4

МАТЕМАТИКА 7. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 7.1. Понятие производной, её механический и геометрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Правила дифференцирования. Таблица основных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Линейная функция и её свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Прямая линия на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой . . . 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 8.1. Функции, заданные неявно, их дифференцирование . . . . 8.2. Параметрически заданные функции и их дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Дифференциал функции, определение и свойства . . . . . 9. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 9.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Применение производной к вычислению пределов функций. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Исследование функции на возрастание, убывание и экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Асимптоты к графику функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Примерный план исследования функции . . . . . . . . . . . . . 108 112 114 115 120 122 124 126 128 129 133 136 138 139 143 145 146 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5

Стр.5