Введение в функциональный анализ (1700,00 руб.)

Стр.3

Стр.480

Стр.481

УДК 517.9(075) ББК 22.162я7 К95 Кутузов, А. С. К95 Введение в функциональный анализ : учебное пособие / А. С. Кутузов. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 481 с. ISBN 978-5-4499-0433-1 Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов направления (специальности) «Прикладная математика и информатика». Может быть использовано для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов. Текст приводится в авторской редакции. УДК 517.9(075) ББК 22.162я7 ISBN 978-5-4499-0433-1 © Кутузов А. С., текст, 2020 © Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

Стр.3

Содержание ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................................................................ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА............................................................................................................. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА................................................................ 1.1. Понятия метрики и метрического пространства................................................................... Примеры решения задач (19). Задачи для самостоятельного решения (23) 1.2. Множества в метрических пространствах. Примеры метрических пространств................................................................................................................................................................................. Примеры решения задач (29). Задачи для самостоятельного решения (31) 1.3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства........................................................................................................................................................ Примеры решения задач (38). Задачи для самостоятельного решения (43) 1.4. Свойства полных метрических пространств............................................................................ Примеры решения задач (53). Задачи для самостоятельного решения (55) 1.5. Пополнение метрических пространств. Сепарабельные пространства........... Примеры решения задач (59). Задачи для самостоятельного решения (62) 1.6. Компактные множества............................................................................................................................... Примеры решения задач (67). Задачи для самостоятельного решения (68) 1.7. Непрерывные отображения метрических пространств. Сжимающие отображения..................................................................................................................................................................... Примеры решения задач (75). Задачи для самостоятельного решения (79) 2.2. Нормированные пространства............................................................................................................... Примеры решения задач (98). Задачи для самостоятельного решения (102) 2.3. Ряды в линейных нормированных пространствах.............................................................. Задачи для самостоятельного решения (106) 2.4. Пространства l p c c0 и [ , ]C a b ................................................................................. Примеры решения задач (110). Задачи для самостоятельного решения (113) p (1 ), , 2.5. Линейные подпространства и плотные множества............................................................ Примеры решения задач (119). Задачи для самостоятельного решения (122) 2.6. Предкомпактные множества................................................................................................................... Примеры решения задач (129). Задачи для самостоятельного решения (131) 2.7. Пространства L E d p ( , ) 2.9. Плотные множества в L E d p ( , ),1 p  ..................................................................................................... 3 5 8 ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА............................................................................................................................................... 19 РАЗДЕЛ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА...................................................................................... 19 19 27 36 50 58 63 71 РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА........................................ 87 2.1. Линейные пространства.............................................................................................................................. Примеры решения задач (89). Задачи для самостоятельного решения (92) 87 95 104 107 116 126 137 Примеры решения задач (140). Задачи для самостоятельного решения (147) 2.8. Полнота пространств L E d при 1 p   ..................................................................... 153 p ( , ),1 p  ................................................................................ 156 164 () 2.10. Предкомпактные множества в 2LX ......................................................................................... Примеры решения задач (166). Задачи для самостоятельного решения (168) Дополнение. Базисы в линейных пространствах............................................................................ 171 РАЗДЕЛ 3. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА....................................................................................... 175 3.1. Пространства со скалярным произведением............................................................................ Примеры решения задач (177). Задачи для самостоятельного решения (180) 175 3.2. Проекции векторов в гильбертовых пространствах.......................................................... 184 3.3. Ортогональные дополнения и их свойства................................................................................ Примеры решения задач (187). Задачи для самостоятельного решения (194) 186 479

Стр.480

3.4. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах............................................................................. Примеры решения задач (198). Задачи для самостоятельного решения (199) 3.5. Базисы в гильбертовых пространствах.......................................................................................... Примеры решения задач (206). Задачи для самостоятельного решения (212). Дополнение (215) 196 202 ЧАСТЬ II. ОПЕРАТОРЫ........................................................................................................................................................ 217 РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ...................................................................................................................................................................................................... 217 1.1. Понятие линейного ограниченного оператора, его норма........................................... Примеры решения задач (219). Задачи для самостоятельного решения (233) 1.2. Пространство линейных ограниченных операторов......................................................... Задачи для самостоятельного решения (244) 1.3. Последовательности операторов......................................................................................................... Примеры решения задач (248). Задачи для самостоятельного решения (254) 1.4. Дополнительные задачи и утверждения....................................................................................... Задачи для самостоятельного решения (269) 217 242 245 260 1.5. Образы шаров в банаховых пространствах............................................................................... 274 РАЗДЕЛ 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.................................................................................... 278 2.1. Функционалы в гильбертовых пространствах........................................................................ 278 2.2. Функционалы в нормированных пространствах.................................................................. Примеры решения задач (288). Задачи для самостоятельного решения (292) 2.3. Продолжение линейных функционалов....................................................................................... Примеры решения задач (298). Задачи для самостоятельного решения (302) 2.4. Общий вид линейного ограниченного функционала в пространстве C[ , ]a b ..................................................................................................................................................................................... Примеры решения задач (315). Задачи для самостоятельного решения (316) 2.5. Слабая и *-слабая сходимости.............................................................................................................. Примеры решения задач (327). Задачи для самостоятельного решения (330) 2.6. Рефлексивные пространства. Двойственность....................................................................... Примеры решения задач (338). Задачи для самостоятельного решения (339) 2.7. Сопряженные операторы............................................................................................................................ Примеры решения задач (345). Задачи для самостоятельного решения (350) 281 295 308 320 335 342 Дополнение. Комплексный вариант теоремы Хана-Банаха. Слабая замкнутость выпуклого множества............................................................................................................................... 355 РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ....................................................................... 357 3.1. Обратные операторы...................................................................................................................................... Примеры решения задач (362). Задачи для самостоятельного решения (369) 3.2. Замкнутые операторы............................................................................................................................. ....... Примеры решения задач (375). Задачи для самостоятельного решения (377) 3.3. Резольвентное множество и спектр оператора....................................................................... Примеры решения задач (387). Задачи для самостоятельного решения (401) 3.4. Вполне непрерывные операторы......................................................................................................... Примеры решения задач (414). Задачи для самостоятельного решения (425) 3.5. Фредгольмовы операторы......................................................................................................................... Примеры решения задач (436). Задачи для самостоятельного решения (439) 3.6. Спектры самосопряженных и вполне непрерывных операторов.......................... Примеры решения задач (450). Задачи для самостоятельного решения (455) Дополнение. Линейные интегральные уравнения......................................................................... Примеры решения задач (463). Задачи для самостоятельного решения (474) 357 374 380 409 433 441 460 Рекомендуемая литература................................................................................................................................................... 478 480

Стр.481