ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ
ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ЧАСТЬ 2
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
В.Е. Петрова
Воронежского государственного университета
2010
Издательско-полиграфический центр
Стр.1
Содержание
1 Краевая задача Римана Гильберта.
Некоторые вспомогательные теоремы и понятия
1.1 Принцип непрерывности. Продолжение по симметрии . . . 4
1.2 Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля . . . . 8
1.3 Индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4
2 Задача Римана Гильберта для односвязной области 12
2.1 Постановка задачи. Отыскание кусочно-аналитической функ2.2
ции по заданному скачку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Каноническая ôóíêöèÿ. Решение задачи . . . . . . . . . . 14
3 Задача Римана Гильберта для полуплоскости
4 Сингулярные интегральные уравнения с ядром
Коши. Основные понятия
5 Решение характеристического уравнения
23
4.1 Сингулярное интегральное уравнение . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Интегральные уравнения Фредгольма . . . . . . . . . . . . 28
26
5.1 Сведение к краевой задаче Римана Гильберта . . . . . . 31
5.2 Решение уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Решение уравнения, союзного характеристическому . . . . 36
31
6 Сингулярные интегральные уравнения,
разрешимые в замкнутой форме
7 Уравнение на действительной оси
7.1 Исчезающие на бесконечности решения . . . . . . . . . . . 43
7.2 Решение в классе ограниченных на бесконечности функций 45
39
43
3
Стр.3
некоторую область Dω; Lω произвольная прямая или окружность в
плоскости ω и D∗
делим в D∗
если Lz и Lω действительные îñè, то
f∗(z) = f(z) = f(z).
ричным z функцию ω = f∗(z), ставя в соответствие точкам z∗, ñèììåòω
область, симметричная Dω относительно Lω. Опреz,
значения ω∗, симметричные значениям ω = f(z); в частности,
Ëåììà. Функция ω = f∗ аналитична в области D∗
z.
лу свойства инвариантности симметричных точек при дробно-линейном
преобразовании точки, симметричные относительно Lz, Lω, перейдут в
точки, симметричные относительно действительных осей плоскостей z
и ω. Таким образом, дело сводится к случаю, когда парами симметричных
точек будут (z, z) и (ω, ω). Для доказательства аналитичности f∗(z)
воспользуемся интегралом Коши:
лаем в плоскостях z и ω дробно-линейные преобразования такие, что Lz,
Lω переходят соответственно в отрезки действительных осей z и ω. В сиf(z)
= 1
2πi
По определению
f∗(z) = f(z) = −2πi
Lz перейдет в L∗
1
Lz τ −zdτ.
f(τ)
Заменим под знаком интеграла τ на τ и f(τ) на f∗. При этом контур
z, проходимый в отрицательном направлении. Получим
f∗(z) = 1
2πi
L∗
z
f∗(τ)
τ −zdτ,
т.е. f∗(z) представляется интегралом Коши, следовательно, аналитична.
Функция
F(z) =
f(z), z ∈ Dz,
f∗(z), z ∈ D∗
6
z,
Lz τ −zdτ.
f(τ)
типа Коши.
Пользуясь круговым свойством дробно-линейных преобразований, сдеПриведем
здесь доказательство, основанное на свойствах интеграла
Стр.6
является кусочно-аналитической в совокупности областей Dz, D∗
муПерейдем теперь к установлению принципа симметрии в обычной форz.
или
дугу окружности, и отражает область Dz в некоторую область
Dω так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок
прямой или дугу окружности. Тогда функция f∗(z), определенная по
симметрии в области D∗
ции f(z) в области D∗
тична в области Dz, имеющей частью своей границы отрезок прямой
ниеРассуждая, как при доказательстве леммы, можно свести рассмотреетс
к случаю, когда отрезок действительной оси плоскости z отображаz.
ке
действительной оси плоскости ω. Следовательно, граничные значения
f(z) и f∗(z) совпадают. Условия принципа непрерывности выполнены, и
теорема доказана.
симметричнаяя z. Когда z стремится к точке действительной оси, то и
симметрии и условию теоремы ω и ω стремятся к одной и той же точей
точка z стремится к тойже точке оси. По определению
аналитическая кривая, определяемая параметрически: x = ϕ(t), y =
ψ(t), где ϕ, ψ аналитические функции действительного параметра
t. Равенство z = ϕ(t) + iψ(t) при t действительном определяет точку
кривой L, при комплексном t оно задает некоторую точку комплексПонятие
симметрии может быть значительно обобщено. Пусть L
ной плоскости, не принадлежащую L. Заменив t на t, получим точку
z∗ = ϕ(t) + iψ(t), симметричную по определению точке z относительно
L. Возьм¼м в последнем выражении сопряж¼нное значение и присоединим
к нему выражение для z. Решая систему, получим
ϕ(t) = x = 1
2(z +z∗),ψ(t) = y = 1
2i(z −z∗).
0, то для определения точки z∗, симметричной z относительно кривой L,
получим уравнение
f
1
2(z∗ +z), 1
2i(z∗ −z) = 0.
7
Если уравнение кривой L задано в неявной форме уравнением f(x, y) ==
z, будет аналитическим продолжением функя
на отрезок действительной оси плоскости ω. В силу леммы f∗(z)
аналитична в D∗
лировке.
Теорема (принцип симметрии). Пусть функция ω = f(z) анали
Стр.7
Для произвольной аналитической кривой алгоритм построения симметричных
точек не изучен. Для более частного случая алгебраической
кривой он разработан.
1.2 Принцип аргумента. Обобщенная теорема Лиувилля
Пусть в областиD, ограниченной контуром L, функция f(z) аналитична,
за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы.
Выпишем разложение в ряд в окрестности некоторой точки z0:
f(z) = cn(z −z0)n +cn+1(z −z0)n+1 +... = (z −z0)nf1(z),
f1(z0) = cn = 0.
порядок полюса с противоположным знаком. Если порядок функции в
z0 есть нуль, то в такой точке функция принимает конечное, отличное
от нуля, значение. При рассмотрении бесконечно удаленной точки бином
z −z0 нужно заменить на 1
кратность. Символом [ω]L обозначим приращение величины ω при обходе
контура в положительном направлении. Положительным обходом,
как всегда, считается тот, при котором рассматриваемая область остается
слева. Сформулируем теорему, называемую принципом аргумента.
порядком функции будем считать число n/2.
стиПусть ND, PD; NL, PL соответственно числа нулей и полюсов в облаи
контуре, причем каждый из них берется столько раз, какова его
Принцип аргумента. Пусть f(z) есть функция, аналитическая и
однозначная в многосвязной области D, ограниченной гладким контуром
L = L0 +L1 +...+Lm, за исключением конечного числа òî÷åê, где
она может иметь полюсы, непрерывная в замкнутой области D ∪ L
и имеет на контуре не более чем конечное число нулей целого порядка.
Тогда справедлива формула
ND −PD + 1
2(NL −PL) = 1
2π[arg f(z)]L.
за Обобщенный принцип аргумента. Пусть f(z) аналитична в D,
рывно продолжима на контур всюду, кроме точек tk в окрестности
8
исключением конечного числа точек, где она имеет полюсы, и непреЧисло
n называется порядком функции в точке z0. Если n > 0, то
порядок функции есть порядок ее нуля, если n < 0, то порядок ее есть
z . Если точка z0 лежит на контуре L, то
Стр.8